Veljko Milonjić rođen je u Podgorici 18. juna 1978. godine, gdje je završio osnovnu školu i gimnaziju. Maturirao je u Sjedinjenim Američkim Državama, državi Kolorado, a diplomirao na Pravnom fakultetu u Podgorici 2002. godine, smjer međunarodni odnosi. Zvanje magistra međunarodnih odnosa i političkih praksi (MIPP-Master of International Policy and Practice) stekao je u SAD 2010. na Džordž Vašington Univerzitetu, Eliot Škola za međunarodne odnose. Od 2016. godine doktorand je na Katoličkom Univerzitetu Ajštat-Ingolštat, SR Njemačka. Pohađao je brojne obuke i seminare iz oblasti evropskih integracija, međunarodnog prava, pregovaranja, međunarodne bezbjednsoti, protokola i diplomatskih vještina (Diplomatska Akademija Gavro Vuković 2003/04, Diplomatska Akademija Beč, 2006.), a obuku za perspektivne lidere u organizaciji Džon Kenedi Škole za međunarodne odnose Harvard Univerziteta završio u ljeto 2012.
Profesionalnu karijeru započeo je aprila 2003. kao pripravnik u Ministarstvu za ekonomske odnose sa inostranstvom i evropske integracije Crne Gore, nakon čega radi kao savjetnik u istom Ministarstvu do avgusta 2004. kada prelazi na novu dužnost i do kraja 2006. godine radi u Kabinetu ministra vanjskih poslova. Od februara 2007. do jula 2010. godine obavljao je dužnost prvog sekratara u Ambasadi Crne Gore u SAD. Po povratku u zemlju radio je kao savjetnik u Diplomatskom protokolu MVP do januara 2011., kada prelazi na dužnost savjetnika za međunarodne odnose ministra finansija. Tokom jesenjeg semestra 2011. Milonjić je bio predavač na Univerzitetu Donja Gorica.
U Ministarstvo vanjskih poslova vraća se septembra 2012. i preuzima dužnost direktora Direkcije za konzularne poslove, nakon čega, u aprilu naredne godine, stupa na dužnost generalnog konzula Crne Gore u Minhenu i tu funkciju obavlja do avgusta 2017. Posao direktora Direkcije za Sjevernu, Centralnu i Južnu Ameriku u Generalnom direktoratu za bilateralne poslove obavlja do avgusta 2018. kada je imenovan za vršioca dužnosti generalnog direktora za ekonomsku i kulturnu diplomatiju gdje radi godinu dana. Tokom 2019. Milonjić stiče pravo na unapređenje i stiče zvanje ambasador u Ministarstvu. Jula 2019. prvo je imenovan za vršioca dužnosti, a zatim i za generalnog direktora Generalnog direktorata za multilateralne poslove MVP. U julu 2021. podnosi ostavku na ovu dužnost i odlazi u Vašington, SAD. Kao alumnista Džordž Vašington Univerziteta učestvuje u radu ove organizacije kao predavač i tutor radi sa studentima i povremeno piše za Institut za Evropske, Ruske i Evroazijske studije (IERES). Objavljivao je i za francuski Institut za nacionalnu bezbijednost (IHEDN). Tokom boravka u SAD prava i obaveze iz radnog odnosa u Ministarstvu mu miruju, sve do septembra 2022. kada, na kratko, biva raspoređen za privremenog otpravnika poslova u Ambasadi Crne Gore u Vašingtonu. Od decembra 2022. Milonjić radi kao ambasador u odjeljenju za analitiku MVP, a od septembra 2023. je raspoređen za privremenog šefa Diplomatskog protokola.
Odlično govori i piše engleski jezik, a služi se njemačkim i italijanskim.
Oženjen je i otac dvoje djece.